「6號定7號?」新界東補選已經成為近期熱門的罵戰場地之一,但焦點並不是建制與泛民之間的對決,而是落在6號和7號之間協調不到出現𠝹票的問題。一方面說投票其實好簡單,只要投你心儀的候選人就好。另一邊就罵說6號的出選會分薄7號的票源,最終導致兩敗俱傷。各自的支持者都勸對方說「既然你地明知會輸,仲唔快啲將票轉嚟畀我地?」

立場不同,這樣的爭拗肯定是沒完沒了,本來我也無意加一把嘴。但當我看到有一些論述提到「雙方立場差異太大點可能出現𠝹票」、「而家啲票你架?畀人𠝹走去報警囉」等,我覺得有需要寫一篇關於Game Theory中對投票制度一些討論,說明一下𠝹票指控背後的依據。其實道理顯淺易明,我相信所有人都已經明白,畢竟所謂的𠝹票的現象從投票制度開始就已經存在。我在這篇文章重提一次,你就當是滿足一下我的教師慾吧。

 

大家有沒有想過,一個投票制度怎樣才算是好?教科書上或許會有更嚴謹的定義,但我認為能滿足兩個條件就好:一、若候選人中存在孔多塞贏家(Condorcret Candidate),結果應選出這名候選人;二、Naïve Voting(我譯成直率投票較中性)是選民的(至少是Weakly)優勢策略。

假設現在有abcd四名候選人,還有10名選民。每一個選民對四名候選人都有自己的喜好排序,我將他們的喜好列在下表,由上至下是他們最喜歡到最討厭的候選人。

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a

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b

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a

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從這十名選民的喜好中我們發現,假如我們讓候選人以單對單(Head-to-head)的方式進行選舉,而所有選民都直率地跟隨他們喜好去投票的話,候選人d永遠是贏家。這種在單對單情況下能擊敗所有其他對方的候選人,我們稱為孔多塞贏家(Condorcret Candidate)。有時候孔多塞贏家並不存在,但只要這種贏家一存在,一個好的選舉制度就應當將他選出來。

但假設這是多票者直接得勝的選舉制度,結果會是怎樣?我們會選出候選人a,而不是d。若你有細心留意a在單對單選舉中的結果你會發現,我們不只是選不出一個孔多塞贏家,甚至是選出一個孔多塞輸家出來。候選人a在任何情況下都會輸給bcd其中一個,但在相對多數制下他卻能勝出選舉。

就算改成絕對多數制要過半數才能勝出,採取哪種流行的投票制度都好,勝者都不會是d。就算他是孔多塞贏家,也很大機會會在第一輪被淘汰。

那麼這十名選民該如何投票才好呢?或者要思考十名選民的想法太複雜,我們只考慮非常討厭a的六名選民。假設他們的選舉跟新界東補選一樣採用單議席單票制,勝者無需得票過半。倘若所有人都採取直率投票的策略,a將會勝出,這結果是其他六名選民都極力希望能夠避免。直率投票絕對不是他們的優勢策略,他們為了避免出現最壞的結果,可能會進行協議棄cd而投b,使b勝出選舉。選票是選民的,本來也不是最想投b的。但倘若cd兩人堅持己見硬要參選,要選民直率投票支持他們,我實在不明白為什麼不能將這行為稱為𠝹票。

 

直率投票絕對不是罪過,讓選民能直率投票是選舉制度的份內事。但正因為投票制度的不完美,逼使我們很多時候不能採用這策略。

其他投票制度的出現是打算改善這問題,但直到目前為止,我仍沒看到一個投票制度能保證孔多塞贏家當選及使直率投票作為選民的優勢策略,一些制度的變種甚至會出現投票給心儀的候選人反而會使他落選的怪異情況。無論哪個制度,我都能想像選民使用策略性投票取得更好結果的可能性。有人或者會立志想出一套完美的投票制度來解決這問題。如果真能想出來下屆的諾貝爾獎得主就會是你了,不過在這之前或者可以參考阿羅不可能定理(Arrow's impossibility theorem)看看。詳細我就不在此贅述。

 

有人或者會提出質疑,既然是bcd三人的支持者協議選出bcd其中一個,避免讓a當選,為什麼是棄cd投b而不是棄bc而投d呢?明明d才是孔多塞贏家。沒錯,這個模型不能告訴我們協議應該棄誰投誰,這例子只是說明六名選民應採取策略投票,而協議的結果我們並不清楚。

而要對協議結果進行判斷,我們要引入另一個模型,也就是很著名沙灘賣冰的例子。為了簡化模型,我們把候選人減至三名,再用一段光譜來代表選民的政治立場。

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假設選民平均分配在這段光譜上,他們必須投票,而他們會選擇距離自己政治立場最近的候選人。我們看到候選人a得票最多,在相對多數制下與bc競選會獲勝。bc兩人為了跟a競爭就要進行協調,但究竟要棄誰保誰?

在平均分佈或常態分佈下,很顯然的我們會棄掉立場較極端的候選人。我們來比較一下棄b和棄c的分別。

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由於中立的選民較容易被敵方吸納,倘若選取較激進的路線來協調只會流失更多的支持者使勝算降低。在這些假設下,這個模型會提議放棄激進而保住中間路線來勝出選舉。這模型也是中間選民理論的由來。

但這是否說激進路線永遠要讓步給一事無成的溫和路線呢?這又未必。只要引入兩個假設,這個模型也是有機會提議大家把票投給c而不是b。一、當候選人的政治立場與選民之間的差異大於某數,選民會選擇棄權;二、選民的政治立場不是平均或常態分佈,而是呈現雙峰分佈,如下圖:

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那麼,叫人棄b而投c還是有一定道理。但若是c的支持者想選民放棄走中間路線的候選人,就應該提出理據證明目前選民政治立場的分佈類似這樣,否則一般都會以常態分佈的假設去做判斷,我們不能怪罪採用這假設的選民。

 

以上種種,全部都是基於選舉必須要勝利,輸給建制派會有毀滅性的後果的前提上引申出來。但如果我們不執著於勝負,這次選舉純粹是調查選民對激進路線的看法,測試本土派的動員能力的話,呼籲選民按照自己喜好去投票就不是一項錯誤。但如果我們目的是想知道香港人真正的想法,就不是叫選民棄誰保誰,而是說「228請出來投票表達你的想法」。

 

反正下一屆兩個人都會入立法會啦。

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